我院新闻
最大公约数的三种求法——(C语言)
发布时间:2024-01-21

如何求解最大公约数,首先了解什么是最大公约数,如果有一个自然数a能被自然数b整除,则称a为b的倍数,b为a的约数。几个自然数公有的约数,叫做这几个自然数的公约数。公约数中最大的一个公约数,称为这几个自然数的最大公约数。

例: 在2、4、6中,2就是2,4,6的最大公约数。

再C语言中,有以下三种求法:


方法一:

int main() {
	int a;
	int b;
	printf("请输入两个正整数:");
	scanf("%d %d", &a, &b);
	int i = 0;
	int m = 0;
	for (i = 1; i <= a && i <= b; i++) {
		if (a % i == 0 && b % i == 0) {
			m = i;
		}
	}
	printf("最大公约数为:%d\n", m);
		return 0;
}

 该方法是将两个数依次对1开始取模,往后++,直到满足两个都对i取模为0结束。


方法二:

int main() {
	int a;
	int b;
	printf("请输入两个正整数:");
	scanf("%d %d", &a, &b);
	//找到两个数的较小者
	int min = (a < b ? a : b);
	while (1) {
		if (a % min == 0 && b % min == 0) {
			break;
		}
		min--;
	}
	printf("最大公约数为:%d\n", min);
	return 0;
}

 该方法是找到两个数的较小者,输入的两个数依次对较小者取模,满足上述条件结束。


 方法三:

//辗转相除法
int main() {
	int a;
	int b;
	printf("请输入两个正整数:");
	scanf("%d %d", &a, &b);
	int k = 0;
	while (k = a % b) {
		a = b;
		b = k;
	}
	printf("最大公约数为:%d\n", b);
	return 0;
}

 辗转相除法一般指欧几里得算法。欧几里得算法又称辗转相除法,是指用于计算两个非负整数a,b的最大公约数。那么辗转相除法的原理是什么?

1、 原理:设两数为a、b(ab),用gcd(a,b)表示a,b的最大公约数,r=a(mod b)为a除以b的余数,k为a除以b的商,即a÷b=k。。。。。。。r。辗转相除法即是要证明gcd(a,b)=gcd(b,r)。

2、 第一步:令c=gcd(a,b),则设a=mc,b=nc。

3、 第二步:根据前提可知r=a-kb=mc-knc=(m-kn)c。

4、 第三步:根据第二步结果可知c也是r的因数。

5、 第四步:可以断定m-kn与n互质(假设m-kn=xd,n=yd(d1),则m=kn+xd=kyd+xd=(ky+x)d,则a=mc=(ky+x)cd,b=nc=ycd,则a与b的一个公约数cdc,故c非a与b的最大公约数,与前面结论矛盾),因此c也是b与r的最大公约数。

6、 从而可知gcd(b,r)=c,继而gcd(a,b)=gcd(b,r)。

7、 证毕。以上步骤的操作是建立在刚开始时r≠0的基础之上的。即m与n亦互质。

8、 解释:辗转相除法,又名欧几里德算法(Euclidean algorithm)乃求两个正整数之最大公因子的算法。它是已知最古老的算法,其可追溯至公元前300年前。

9、 来源:设两数为a、b(ab),求a和b最大公约数(a,b)的步骤如下:用a除以b,得a÷b=q。。。。。。r1(0≤r1)。若r1=0,则(a,b)=b;若r1≠0,则再用b除以r1,得b÷r1=q。。。。。。r2(0≤r2)。若r2=0,则(a,b)=r1,若r2≠0,则继续用r1除以r2,……如此下去,直到能整除为止。其最后一个余数为0的除数即为(a, b)的最大公约数。

10、 例如:a=25,b=15,a/b=1。。。。。.10,b/10=1。。。。。.5,10/5=2。。。。。。.0,最后一个余数为0d的除数就是5, 5就是所求最大公约数。


“只有两种编程语言:大家抱怨的和没人用的。”——本贾尼·斯特劳斯特鲁普(Bjarne Stroustrup)

[返回上级]